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8.2. Cálculo de alturas

Teodolito

Para poder utilizar la trigonometría para medir alturas de edificios, antenas, accidentes geográficos... se deben medir determinados ángulos. Para ello se utiliza un aparato de medida llamado teodolito. 

 

Ángulos de elevación y de depresión

Hay determinados ángulos que aparecen frecuentemente en los enunciados de los problemas. Son los ángulos de elevación y de depresión.

El ángulo de elevación es el ángulo que forma la visual de un observador que mira hacia arriba y la horizontal.

El ángulo de depresión es el ángulo que forma la visual de un observador que mira hacia abajo y la horizontal.

  

Problemas de alturas

Cuando el pie de la altura que se desea medir es accesible, el problema se resuelve de forma muy sencilla a partir de la medición de un ángulo y de una longitud.

En el caso en que el pie no sea accesible, habrá que hacer dos mediciones de ángulos y una medición de longitud.

Cálculo de una altura con pie accesible:

Ejemplo.

Se quiere medir una torre de una plaza. Para ello se mide el ángulo de elevación con un teodolito que está a una alura de 130 cm. Se mide la distancia del pie del teodolito al pie de la torre y resulta ser de 15 m. 

Para resolver este problema basta con considerar el triángulo que se forma entre la vertical que pasa por el punto más alto del objeto a medir, la horizontal al punto de mira y la línea de visión. Podemos verlo en el siguiente applet.

Cálculo de una altura con pie no accesible. Método de doble observación.

Ejemplo

Se quiere medir la torre de una plaza, pero esta vez no tenemos acceso a la base de la torre. Se aplicará entonces el método de doble observación. Hacemos una primera medición del ángulo de elevación de la torre obteniendo una medida de 50º. Después nos alejamos y medimos la distancia a la que estamos del punto desde donde hicimos la primera observación, 8 m, y el ángulo de elevación, 35º.

Para resolver este problema se considerarán dos triángulos rectángulos: el formado por los extremos de la torre y el primer punto de observación y el formado por los extremos de la torre y el segundo punto de observación.

Se puede ver el proceso de resolución utilizando la barra de navegación del siguiente applet. 

Nota: En este problema, para simplificar el proceso, no se ha tenido en cuenta la altura a la que está el teodolito.

  

Ejercicio 1

En la terraza de un edificio hay colocada un antena de telefonía. Unos alumnos quieren hallar su altura desde fuera del edificio utilizando lo aprendido en clases de matemáticas. Para ello, se colocan a 70 m del edificio y miden el ángulo de elevación del tejado del edificio y el del extremo de la antena, resultando ser de 37º y 40º respectivamente. Hacen cálculos trigonométricos y concluyen que la altura del edificio redondeada a las décimas es de , m y la de la antena de m.

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Ejercicio 2

Ana está practicando a usar el teodolito y se propone medir la altura de un árbol que está al otro lado del río. Como el puente queda lejos, se decide a medir la altura desde donde está. Para ello hace dos mediciones. Mide un ángulo de elevación de 26º desde la orilla del río y después se aleja 20 m y mide un ángulo de elevación de 16º.  Hace cálculos trigonométricos y concluye que el árbol mide aproximadamente m.

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