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5. Relaciones trigonométricas básicas

Los valores de las razones trigonométricas de un mismo ángulo están relacionadas, no son idependientes una de la otra. Las igualdades que las relacionan y que se cumplen para cualquier valor del ángulo se llaman identidades trigonométricas. La utilidad de estas identidades es que permiten calcular el resto de razones trigonométricas de un ángulo a partir de una dada. Dos son las identidades más importantes:

Relación entre seno y coseno o Formula fundamental de la trigonometría

Relación entre seno, coseno y tangente.

Relación entre seno y coseno. Fórmula fundamental de la trigonometría.

Utiliza la barra de navegación del siguiente applet para ver la demostración de la Fórmula fundamental de la trigonometría.

Mueve el deslizador para comprobar numéricamente que se cumple en cualquier caso.

Relación entre seno, coseno y tangente.

Es fácil demostrar que 

Veámoslo:

Partiremos del primer miembro de la identidad y llegaremos al segundo a través de igualdades.

              

Relación entre secante y tangente

Esta es otra de las relaciones más usadas y se deduce fácilmente a partir de la fórmula fundamental.

Para demostrarla se dividen entre cos2α los dos miembros de la fórmula fundamental, se opera y se simplifica:

Comprobación de que una igualdad trigonométrica es una identidad

Para comprobar si una igualdad es una identidad, partiremos de uno de sus miembros y, a través de una serie de igualdades llegaremos al otro. O bien, simplificaremos los dos miembros hasta llegar a la misma expresión. 

Ejemplo:        

Demostración:

Actividad 1

Dado un ángulo agudo, α, con senα=0.4, calcula cosα y tgα.

Redondea el resultado a las centésimas y usa la coma para separar la parte decimal.

a. cosα = 

b. tgα = 

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Actividad 2

Pregunta

Dado un ángulo agudo, α, con cosα=1/3

a. senα =

Retroalimentación

Pregunta

b. tgα =

Retroalimentación

Actividad 3

Comprueba si las siguientes igualdades son identidades

Pregunta 1

a.    

Pregunta 2

b.      

Pregunta 3

c.      

Pregunta 4

d.