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3. Razones trigonométricas de 30°, 60° y 45°

Hemos visto que podemos calcular las razones trigonométricas utilizando la calculadora o el método geométrico. La calculadora halla las razones en forma decimal con redondeo y el método geométrico no es cómodo.

Hay ciertos ángulos para los cuales es muy fácil deducir las razones trigonométricas de forma exacta y que, debido a su amplio uso, conviene aprendérselas de memoria. 

Deduciremos ahora el valor exacto de las razones trigonométricas de los ángulos de 30°, 45° y 60º. 

Razones trigonométricas del ángulo de 45°

Para hallar las razones de un ángulo de 45° partiremos de un triángulo rectángulo en el que aparezca. Sabemos que los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman 90°. Por tanto si un triángulo rectángulo tienen un ángulo de 45° obligatoriamente tendrá dos. Y si un triángulo tiene dos ángulos iguales entonces debe tener iguales también los lados opuestos a esos ángulos. Partiremos pues de un triángulo rectángulo isósceles y para simplificar los cálculos podemos elegir aquel cuyos catetos miden la unidad. 

Utiliza la barra de navegación del siguiente applet para ver paso a paso la construcción del triángulo y el cálculo de las razones.

Resumiendo:

Razones trigonométricas del ángulo de 45º

           

Razones trigonométricas del ángulo de 60°

Para hallar las razones del ángulo de 60° debemos partir de un triángulo rectángulo con un ángulo agudo de esa medida. Podemos construir un triángulo así de una forma muy sencilla de recordar. Partimos de un triángulo equilátero, que como sabemos tienen tres ángulos de 60°. Trazamos una altura y consideramos uno de los dos triángulos rectángulos en los que queda dividido. Como en un triángulo equilátero las alturas y las mediatrices coinciden, la altura cae sobre el punto medio del lado y así un cateto mide exactamente la mitad de la hipotenusa. Como además la altura también coincide con la bisectriz, el ángulo quedará también dividido en dos partes iguales. Y así, tenemos un triángulo rectángulo con un ángulo de 60 y otro de 30 que nos servirá para hallar las razones trigonométricas de los dos ángulos. Para que los cálculos sean fáciles tomaremos como hipotenusa 2 unidades y así el cateto contiguo al ángulo de 60° medirá 1.

Utiliza la barra de navegación del siguiente applet para ver paso a paso la construcción del triángulo y el cálculo de las razones.

Razones trigonométricas del ángulo de 30°

Para hallar las razones trigonométricas del ángulo de 30º partiremos del mismo triángulo rectángulo usado para el ángulo de 60°. Sólo hay que tener en cuenta que el cateto opuesto al ángulo de 60 es el contiguo al ángulo de 30 y el cateto contiguo al ángulo de 60 es el opuesto al de 30. La hipotenusa es la misma para los dos ángulos. Con esto, sólo quedan hacer los cálculos y las simplificaciones correspondientes.

Utiliza la barra de navegación del siguiente applet para ver paso a paso el cálculo de las razones.

Resumiendo:

Razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º

         

Actividad 1

Pregunta

a. cos30º=

Retroalimentación

Pregunta

b. sen 60º=

Retroalimentación

Pregunta

c. tg45º=

Retroalimentación

Pregunta

d. cos60º

Retroalimentación

Pregunta

e. sen30º

Retroalimentación

Pregunta

f. cos45º=

Retroalimentación

Pregunta

g. tg30º=

Retroalimentación

Pregunta

h. tg60º=

Retroalimentación

Pregunta

i. sen45º=

Retroalimentación

Actividad 2

Lee y completa

a. 2cos30º – tg60º + 3tg45º =

b. 3cosec60º – 2cotg30º =

c. 6tg30º – 4sen60º + 2cotg45º =

d. sen45º – cos45º + tg45º =

e. sec245º + cosec245º +cotg245º =

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