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1. Lo que debes recordar...

La trigonometría se basa en el concepto de semejanza ya estudiado en unidades anteriores. 

Con el apartado a de la siguiente actividad podrás recordar los conceptos de triángulos semejantes, razón de semejanza y posición de Thales.

En el apartado b, se obtendrán nuevas razones distintas a las ya estudiadas. Estas nuevas razones serán la base de la trigonometría cuando se apliquen a triángulos rectángulos (apartado c).

Actividad

En el siguiente applet aparecen dos triángulos colocados en posición de Thales. Por tanto, podemos afirmar que son semejantes y se cumplen las proporciones: 

En cada una de las razones de estas proporciones aparece un lado de cada triángulo.

Recordemos que la razón de semejanza entre ambos es, por definición, la razón de proporcionalidad entre sus lados.

Podemos leer: El lado a' es a a, como el b' a b, como el c' a c.

a. Mueve el deslizador para hacer variar el ángulo A. Observa que los triángulos siguen siendo semejantes y su razón de semejanza sigue siendo la misma. Es decir, la razón entre ambos triángulos no depende de la forma del triángulo, sino de la diferencia de tamaño entre ambos. Esto último lo puedes comprobar moviendo los vértices B o B' de los triángulos. Estas razones dependen exclusivamente de la diferencia entre los tamaños de los triángulos.

De las proporciones anteriores podemos deducir:

En las proporciones   ,        y     se igualan razones en las que se relacionan los lados de un mismo triángulo. Y también las tres proporciones con las razones inversas, por supuesto.

b. Marca la casilla Ver otras razones y mueve el deslizador. Puedes comprobar que estas razones  sí varían cuando el ángulo cambia. Es decir dependen de la forma del triángulo. Sin embargo, no varían al modificar el tamaño de los triángulos. Mueve los vértices B y B' para comprobar esto último. Estas razones dependen exclusivamente de la forma de los triángulos.

c. Mueve el deslizador hasta que se forme un triángulo rectángulo. Fíjate bien en este caso particular. Esta configuración es la base de la trigonometría.