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4. Relación entre las medidas de figuras planas semejantes

Relación entre las medidas de figuras planas semejantes

Veamos con los siguientes applets si podemos encontrar alguna relación entre los perímetros y las áreas de figuras semejantes.

Actividad 1

En el siguiente applet aparecen dos cuadrados. Inicialmente el lado de ambos cuadrados mide 1 u. Moviendo el punto B puedes hacer que varíe la longitud del lado del cuadrado azul. Moviendo el deslizador puedes hacer variar la razón de semejanza entre los dos cuadrados desde 1 hasta 5. 

a. Fíjate en las medidas de lado y perímetro de los dos cuadrados. Mueve el deslizador y haz que k valga 2, 3, 4 y 5. En cada caso, fíjate en las medidas de lados y perímetros. Compara la relación que hay entre los lados de las dos figuras y entre sus perímetros. Relaciónala con la razón de semejanza.

Repite el ejercicio activando primero la casilla Razones lados perímetros.

b. Fíjate ahora en las medidas de lado y área de los dos cuadrados. Haz variar la razón de semejanza moviendo el deslizador y estudia, en este caso, la relación entre los lados y las áreas de los dos cuadrados. Relaciónala con la razón de semejanza. 

Repite el ejercicio activando primero la casilla Razones lados áreas.

  

Conclusiones de la actividad 1:

La razón de los perímetros de dos cuadrados es igual a la razón de semejanza entre ellos.

La razón de las áreas de dos cuadrados es igual al cuadrado de la razón de semejanza entre ellos. 

Actividad 2

En el siguiente applet aparecen dos triángulos semejantes. Moviendo el deslizador puedes hacer variar la razón de semejanza entre los dos triángulos desde 1 hasta 5. Moviendo cualquiera de los vértices del triángulo azul, puedes variar la forma de los triángulos.

a. Fíjate en las medidas de los lados y en el perímetro de los dos triángulos. Mueve el deslizador y haz que k valga 2, 3, 4 y 5. En cada caso, fíjate en las medidas de lados y perímetros. Compara la relación que hay entre los lados de las dos figuras y entre sus perímetros. Relaciónala con la razón de semejanza.

Repite el ejercicio activando primero la casilla Ver razones.

b. Fíjate ahora en las medidas de lado y área de los dos triángulos. Haz variar la razón de semejanza moviendo el deslizador y estudia, en este caso, la relación entre los lados y las áreas de los dos triángulos. Relaciónala con la razón de semejanza. 

Repite el ejercicio activando primero la casilla Ver razones.

Conclusiones de la actividad 2:

La razón de los perímetros de dos triángulos es igual a la razón de semejanza entre ellos.

La razón de las áreas de dos triángulos es igual al cuadrado de la razón de semejanza entre ellos. 

Conclusiones de las actividades 1 y 2:

Como cualquier polígono se puede descomponer en triángulos, no es difícil deducir a partir del último resultado que las conclusiones anteriores se cumplen para cualquier polígono, no sólo para cuadrados o triángulos. 

CONCLUSIONES:

Si la razón de semejanza entre dos polígonos es k entonces la razón de semejanza entre sus perímetros es k.

Si la razón de semejanza entre dos polígonos es k entonces la razón de semejanza entre sus áreas es k2.

Veamos ahora qúe sucede en el caso en que las figuras no sean polígonos. Podemos estudiar lo que sucede en el caso de un círculo.

Actividad 3

En el siguiente applet aparecen dos círculos. Dos círculos son siempre semejantes. La razón de semejanza entre dos círculos es la razón de proporcionalidad entre sus radios. En el applet puedes estudiar la relación entre la razón de proporcionalidad entre los radios y la razón entre sus áreas. 

Mueve el deslizador para cambiar el valor de la razón de semejanza e intenta encontrar una relación entre las razones de los radios y las de las áreas. Puedes activar la casilla Razones radios áreas para ayudarte a sacar conclusiones.

Modifica el tamaño del círculo azul moviendo el punto P y vuelve a mover el deslizador. Comprueba que se sigue cumpliendo la misma relación. 

Conclusiones de la actividad 3:

Si la razón de semejanza entre los radios de dos círculos es k entonces la razón de semejanza entre sus áreas es k2.

CONCLUSIONES:

Hemos visto la relación que existe entre las razones de las áreas y la razón de semejanza de polígonos y círculos. Esto se puede generalizar a todo tipo de figuras planas y enunciar el siguiente resultado:

Si la razón de semejanza entre dos figuras planas es k entonces la razón de semejanza entre sus áreas es k2.