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2.5. Homotecia y semejanza

Homotecia

Dado un punto O y un número real k distinto de cero, se llama homotecia de centro O y razón k, y se denota por H(O,k) a la transformación geométrica que asocia a cada punto P del plano otro punto P' de modo que la longitud del segmento  es el resultado de multiplicar por k la longitud del segmento .

Es decir, una homotecia es una transformación geométrica que, a partir de un punto fijo O, multiplica las distancias por un mismo factor.

  

Actividad 1

En el siguiente applet se muestra un polígono P, de color azul,  al que se le ha aplicado una homotecia de razón k y centro O. 

Moviendo el deslizador se puede modificar el valor de k entre -3 y 3  y analizar qué sucede para distintos valores.

a. Haz que k tome valores mayores que 1 y compara los tamaños de los dos polígonos.

b. Haz que k tome valores menores que -1 y vuelve a comparar los tamaños de los dos polígonos.

c. Haz que k tome valores entre -1 y 1 y compara los tamaños de los dos polígonos.

d. Haz que k sea igual a 1  y compara los dos polígonos.

e. Haz que k sea igual a -1 y compara los dos polígonos.

f. En todos los casos, puedes comprobar si los lados de los dos polígonos son o no paralelos.

g. ¿Qué relación existe entre las longitudes de los segmentos OA y OA', OB y OB', OC y OC', OD y OD', y OE Y OE'. Compruébalo activando la casilla "Ver razones entre segmentos" y haciendo que k tome distintos valores. 

h. Cambia la forma de la figura original y comprueba qué sucede con la figura transformada. Haz variar el valor de k para comprobar qué sucede en varios casos. 

   

Conclusiones

  • Si k<-1 o k>1, la figura transformada tiene mayor tamaño que la original.
  • Si -1<k<1, la figura transformada tiene menor tamaño que la original.
  • Si k=1 la figura original y la transformada son iguales.
  • Si k=-1 la figura original y la transformada son simétricas respecto al centro de la homotecia.
  • Las homotecias transforman segmentos en segmentos paralelos.
  • Las longitudes de los segmentos OA y OA', OB y OB', OC y OC', OD y OD', y OE Y OE' son proporcionales.
  • Las homotecias transforman el tamaño de las figuras, pero mantienen su forma. 

Cómo reconocer si una transformación es una homotecia. 

Para reconocer si una transformación es una homotecia se deben coprobar dos cosas:

  • Se trazan las rectas que pasan por un punto y su homólogo y se comprueba que todas ellas se cortan en el mismo punto (centro de la homotecia)
  • Se comprueba que las distancias entre los puntos de la figura original y el centro de la homotecia, y las distancias entre los puntos homólogos al centro son proporcionales.

     

Actividad 2

En el siguiente applet están construidos dos pares de polígonos.

Con las herramientas disponibles debes comprobar si las transformaciones que relacionan un polígono con su transformado son o no homotecias. 

a. Marca la casilla Ver polígonos A y haz las comprobaciones necesarias (unas con las herramientas geométricas y otras haciendo cálculos). Escribe "homotecia" o "no homotecia" y guarda el archivo como actividad_homotecia_2_a.

b. Marca la casilla Ver polígonos B y haz las comprobaciones necesarias (unas con las herramientas geométricas y otras haciendo cálculos). Escribe "homotecia" o "no homotecia" y guarda el archivo como actividad_homotecia_2_b.

Actividad 3

En el siguiente applet aparecen una figura y su transformada mediante homotecia.

Mueve el deslizador para hacer una traslación de la figura transformada.  Se trasladará el vértice A' sobre el A. 

¿Aparecen las figuras en posición de Thales? ¿Qué conclusión puedes sacar entonces?

Actividad 4

En el siguiente applet aparecen una figura y su  transformada mediante homotecia.

a. Mueve el deslizador "traslación"  para hacer una traslación sobre la figura transformada para trasladar el vértice A'' sobre el A. 

    ¿Aparecen las figuras en posición de Thales? 

b. Sin deshacer la transformación anterior, realiza un giro de la figura trasladada hasta que puedas ver la figura original y la girada en posición de Thales.

    ¿Cuántos grados has tenidos que girar la figura? ¿A qué tipo de simetría es equivalente este giro?

Conclusiones:

Si se realiza una traslación (para k>0) o una traslación y una simetría con respecto a un punto (para k<0), las figuras que están en homotecia pueden colocarse en posición de Thales.

Por tanto, una figura y su transformada mediante una homotecia son semejantes.

La razón de semejanza coincide con la razón de la homotecia.

Relación entre semejanza y homotecia

Sin profundizar demasiado, vemos ahora cuál es la relación entre el concepto de semejanza y el de homotecia y movimientos.

Una figura es semejante a otra si y solo si es composición de una o varias homotecias y uno o varios movimientos (traslaciones, giros y simetrías).

  

Construcción de una figura semejante a una figura dada

Para construir una figura semejante a una figura dada bastará aplicarle una homotecia. Esto consisitirá en elegir un punto como centro de la homotecia y proyectar desde el mismo los puntos clave de la figura. Esto se hace trazando rectas que pasen por el centro y por cada punto y midiendo sobre las rectas las distancias de modo que se cumpla la definición de homotecia. En estas construcciones podemos usar que las homotecias transforman segmentos en segmentos paralelos  para que los trazados sean más sencillos. 

Actividad 5

En el siguiente applet se muestra un ejemplo de cómo aplicar una homotecia a un polígono dado.

a. Utiliza la barra de navegación para ver paso a paso el proceso.

b. Una vez llegues al final de la construcción cambia el valor de la constante k escribiendo otro número en la casilla de entrada.

    Puedes dar los valores 0.5, 1 y 1.5.

c. Modifica la homotecia cambiando de lugar su centro. Sólo necesitas arrastrar el punto naranja. Aléjalo del polígono, ponlo sobre un vértice, en el interior...

d. Modifica el polígono moviendo cualquiera de sus vértices.

 

Actividad 6

En el siguiente applet aparece un triángulo. 

a. Aplícale una homotecia de razón 0,5 eligiendo como centro de homotecia un punto externo al triángulo.

    Guarda el archivo como homotecia_paso_a_paso_actividad_6_a y reinicia el applet.

b. Aplícale una homotecia de razón 1,4 eligiendo como centro de la homotecia un vértice del triángulo.

    Guarda el archivo como homotecia_paso_a_paso_actividad_6_b.

Para medir sobre la semirrecta correspondiente la distancia entre el centro y un vértice multiplicada por 1.4, se puede usar la herramienta Circunferencia (centro, radio) . Primero se calcula la distancia entre el centro y el vértice del polígono de partida usando la herramienta distancia,  . Después se introduce como radio de la circunferencia el nombre de la distancia que aparece al calcularla, seguido de * y de 1.4. Como radio introduciríamos algo así: OA*1.4.

   

GeoGebra tiene una herramienta que permite aplicar homotecias a una figura, a partir del centro de la homotecia y de un valor numérico que será a la vez la razón de la homotecia y la razón de la semejanza entre la figura inicial y la que se obtiene al aplicar la herramienta. Veremos a contiuación cómo se utiliza.