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2.4. Polígonos en posición de Thales

Polígonos en posición de Thales:

Dos polígonos están en posición de Thales si tienen un ángulo en común, los lados que forman este ángulo son paralelos a sus homólogos y las rectas que pasan por dos vértices homólogos se cortan en el vértice común.

                  

  

Actividad 1

En el siguiente applet aparecen dos polígonos en posición de Thales.

a. Mueve el punto B' para hacer variar el tamaño del polígono rosa. ¿Varían las razones de los lados homólogos? ¿Se mantiene la igualdad entre las mismas?

    ¿Cambia la amplitud de los ángulos?

b. Modifica la forma del polígono azul y, en consecuencia la del rosa, moviendo cualquiera de sus vértices. Comprueba otra vez cómo varían las razones entre lados homólogos.

    ¿Cambia en este caso la amplitud de los ángulos?

  

Conclusión:

Parece que podemos afirmar que si dos figuras se pueden poner en posición de Thales entonces son semejantes.

Pero esta afirmación necesita una demostración geométrica.

Demostración:

Vamos a demostrar que si dos polígonos se pueden poner en posición de Thales entonces sus ángulos homólogos son iguales y sus lados homológos proporcionales. Y por tanto, son semejantes.

Haremos la demostración para el caso de los cuadriláteros de la imagen, pero puede generalizarse a cualquier polígono sin dificultad. 

Los ángulos homólogos son iguales:

Uno de los ángulos es común (A=A') y los otros están formados por lados paralelos. 

Los lados homólogos son propocionales:

Basta aplicar el Teorema de Thales en los triángulos ABC y A'B'C' y en los triángulos ACD y A'C'D':

Por ser BC paralelo a B'C':

Por ser DC paralelo a D'C':

Y, por tanto:  

Actividad 2

En el siguiente applet aparecen cuatro pares de figuras. Se trata de que con las herramientas disponibles compruebes si cada par de figuras es o no semejante. 

a. Marca la casilla Ver polígonos 1"y haz las comprobaciones necesarias para ver si las figuras se pueden poner o no en posición de Thales.

    Escribe "semejantes" o "no semejantes" en la Vista Gráfica y guarda el archivo como figuras_pos_thales_1. Reinicia la construcción.

b. Marca la casilla Ver polígonos 2 y haz las comprobaciones necesarias para ver si las figuras se pueden poner o no en posición de Thales.

    Escribe "semejantes" o "no semejantes" en la Vista Gráfica y guarda el archivo como figuras_pos_thales_2. Reinicia la construcción.

c. Marca la casilla Ver polígonos 3 y haz las comprobaciones necesarias para ver si las figuras se pueden poner o no en posición de Thales.

    Escribe "semejantes" o "no semejantes" en la Vista Gráfica y guarda el archivo como figuras_pos_thales_3. Reinicia la construcción.

d. Marca la casilla Ver polígonos 4 y haz las comprobaciones necesarias para ver si las figuras se pueden poner o no en posición de Thales.

    Escribe "semejantes" o "no semejantes" en la Vista Gráfica y guarda el archivo como figuras_pos_thales_4.