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2.3. Razón de semejanza

Razón de semejanza y semejanza:

La constante de proporcionalidad entre los lados de polígonos semejantes se llaman razón de semejanza

La razón de semejanza es el número por el que hay que multiplicar las longitudes de los lados de una de las figuras para obtener las longitudes de los lados de la otra.

La transformación geométrica que transforma una figura en otra figura semejante se llama semejanza.

Una semejanza transforma una figura en otra que tiene los mismos ángulos y los lados proporcionales.

   

Cómo hallar la razón de semejanza:

Dadas dos figuras semejantes, para calcular la razón de semejanza entre ellas, se divide la longitud de un lado de una de las figuras entre la longitud del lado correspondiente en la otra. 

Dadas dos figuras semejantes, F y F',  podremos considerar dos semejanzas y dos razones de semejanza. La semejanza que transforma F en F' y su razón, k, pero también la inversa, la semejanza que transforma F' en F y su razón, k'. Es fácil demostrar que se cumple que .

La razón de semejanza que transforma F en F' es .

La razón de semejanza que transforma F' en F es .

Actividad 1

En el siguiente applet aparecen representados dos polígonos semejantes. La razón de semejanza que transforma F en F' es k y puede hacerse variar moviendo el deslizador.

También puedes hacer variar la forma de las figuras moviendo cualquiera de los vértices de la figura F. 

a. El valor inicial de k es 2. Comprueba si efectivamente las longitudes de los lados de F' se obtienen multiplicando por 2 las correspondientes de F. ¿A qué achacas las diferencias?

b. Calcula, para ese mismo caso, cuál es la razón de semejanza que transforma F' en F.

c. Mueve el deslizador hasta que k=1. ¿Qué relación hay entre el tamaño de los dos polígonos? ¿Cuál es la razón de semejanza que transforma F' en F?

d. Ahora, haz que k tome valores mayores que 1. ¿Qué relación hay entre el tamaño de las dos polígonos? ¿Entre qué valores estaría la razón de semejanza que transforma F' en F?

e. Finalmente, haz que k tome valores menores que 1. ¿Qué relación hay, en este caso, entre el tamaño de los dos polígonos? ¿Entre qué valores estaría la razón de semejanza que transforma F' en F?

Actividad 2

a. Comprueba si los dos polígonos representados en el siguiente applet son semejantes utilizando para ello las herramientas  y .

b. En caso de que sean semejantes halla la razón de semejanza que transforma P en P' y la que transforma P' en P y escríbelas completando los textos que aparecen en la vista gráfica. 

c. Construye otro polígono, P'',  que sea semejante a P'. ¿Cuál es la razón de semejanza que transforma P' en P''? Escríbela en un texto debajo del polígono construido.

   ¿Es también P'' semejante a P? ¿Cuál es en este caso la razón de semejanza que transforma P en P''?

Guarda el archivo como actividad_poligonos_semejantes.

Actividad 3

Construye dos polígonos semejantes al polígono dado. Uno con razón de semejanza 1,5 y el otro, 0,5.

Comprueba las medidas.

Guarda el archivo como actividad_razon_semejanza.