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2.2. Polígonos semejantes

Polígonos semejantes

Acabamos de ver que dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma aunque tengan distinto tamaño.

Veamos, a través de las siguientes actividades,  cómo se traduce esto matemáticamente.

Analizaremos qué relaciones hay entre todos los polígonos que tienen la misma forma. 

Pero antes, aclararemos la nomenclatura que vamos a utilizar.

   

Nomenclatura y notación de los elementos de polígonos semejantes.

Dados dos polígonos semejantes, es decir, dos polígonos con la misma forma, se llaman elementos correspondientes u homólogos a los elementos que ocupan la misma posición en los dos polígonos. Así, tendremos vértices y lados correspondientes y también ángulos. 

Una notación muy utilizada para denotar elementos correspondientes en dos polígonos es usar las mismas letras añadiendo "prima" en uno de los polígonos.

Ejemplo: 

Actividad 1

En el siguiente applet se muestran dos figuras semejantes

a. Mueve cualquiera de los vértices de la figura F y fíjate cómo cambia la forma de F y la de F'.

b. Mide los lados y los ángulos de las dos figuras con la herramienta "distancia" , , y "ángulo", ,  respectivamente.

c. Sin borrar las medidas, moviendo el deslizador,  haz variar el tamaño de la figura F' y toma nota de los nuevos valores de ángulos y lados.

d.Trata de encontrar alguna relación entre las medidas de una y otra figura. 

e. Mueve el deslizador y repite el ejercicio.

  

Actividad 2

En el siguiente applet aparecen dibujados dos rectángulos.

a. Mueve los puntos P y Q hasta conseguir que el rectángulo rosa tenga exactamente la misma forma que el azul, pero menor tamaño. Cuando lo hayas conseguido, fíjate en el valor de las razones de lados homólogos. ¿Qué relación hay entre ellas? ¿Son iguales los ángulos correspondientes en los dos polígonos?

b. Repite el apartado "a", pero esta vez haz que el rectángulo rosa se de mayor tamaño.

c. Mueve los puntos y fíjate en qué valores toman las razones de lados homólogos cuando los rectángulos no tienen exactamente la misma forma. ¿Los ángulos correspondientes son iguales?

d. Intenta sacar alguna conclusión de esta actividad.

  

Conclusión:

Que dos polígonos tengan sus ángulos homólogos iguales no implica que sean semejantes.

Actividad 3

En el siguiente applet se muestran dos paralelogramos. Uno es un cuadrado azul y el otro, un rombo rosa. Se puede hacer que el lado del cuadrado valga 1, 2 o 3 u , utilizando para ello el deslizador azul. 

a. Fíjate en las razones. ¿Qué relación hay entre los lados homólogos de las dos figuras? Mueve el deslizador rosa para hacer variar el tamaño del rombo. ¿Qué sucede con las razones ahora? ¿Hay alguna relación entre los ángulos correspondientes?

b. Mueve el punto P hasta que el paralelogramo rosa tenga la misma forma que el azul. ¿Qué sucede en ese caso con los ángulos correspondientes? ¿Y en todos los demás casos?

c. Intenta extraer alguna conclusión de esta actividad. 

Conclusión:

Que dos polígonos tengan sus lados homólogos proporcionales no implica que sean semejantes. 

Conclusiones

Si dos polígonos son semejantes entonces sus lados homólogos son proporcionales. Pero no es suficiente que cumplan esta condición para poder afirmar que son semejantes.

Si dos polígonos son semejantes entonces sus ángulos homólogos son iguales. Pero no es suficiente que cumplan esta condición para poder afirmar que son semejantes.

Si dos polígonos son semejantes entonces sus lados homólogos son proporcionales y sus ángulos homólogos son iguales. Y viceversa, si dos polígonos tienen lados homólogos proporcionales y ángulos homólogos iguales entonces son semejantes.

Es decir, dos polígonos son semejantes si y sólo si sus lados homólogos son proporcionales y sus ángulos homólogos son iguales.

Esto suele tomarse como la definición de polígonos semejantes.

Actividad 4

Sabiendo que los siguientes polígonos son semejantes, halla las medidas que faltan en cada uno.

Utiliza GeoGebra para comprobar tus resultados.

Guarda el archivo como actividad_medidas_poligonos_semejantes.

Actividad 5

Construye un polígono semejante al polígono que aparece en el applet. 

Comprueba las medidas de los lados y los ángulos del mismo. 

Guarda el archivo como actividad_construccion_poligono_semejantes.

Verdadero-Falso

Pregunta 1

1. Dos triángulos cualesquiera son semejantes.

Pregunta 2

2. Dos cuadrados cualesquiera son semejantes.

Pregunta 3

3. Dos rectángulos cualesquiera son semejantes.

Pregunta 4

4. Dos polígonos regulares con el mismo número de lados son siempre semejantes.

Pregunta 5

5. Si dos polígonos tienen todos sus lados proporcionales entonces son semejantes.

Pregunta 6

6. Si dos polígonos tienen todos sus ángulos iguales entonces son semejantes.

Pregunta 7

7. Si dos polígonos tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales entonces son semejantes.

Pregunta 8

8. Si la razón de semejanza entre dos polígonos semejantes es 2 entonces si uno tiene un ángulo de 30º, el lado homólogo del otro medirá 60º.

Pregunta 9

9. Si la razón de semejanza entre dos polígonos semejantes es 2 entonces si uno tiene un lado de 5 cm, el lado homólogo del otro medirá 10 cm.