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1.2.2. Enunciado y demostración del Teorema de Thales

Teorema de Thales

Si dos rectas secantes se cortan por dos rectas paralelas entonces los segmentos

que determinan las paralelas en una de las secantes son proporcionales a los segmentos

correspondientes de la otra secante . Esto es:

Si AB y A'B'  son paralelas entonces    

Recíprocamente, si  entonces AB es paralelo a A'B'.

Y además:    

  

Observaciones:

  • Anteriormente se estudió el Teorema de Thales utilizando otra notación y sin añadir la última proporción del enunciado.

Esta última proporción suele aparecer en casi todos los libros de texto de educación secundaria, aunque no aparece en la misma proposición en los Los Elementos de Euclides. 

En este nuevo acercamiento sí la recogemos por su utilidad en el concepto de semejanza que se desarrollará más adelante.

  • La demostración de la primera parte del teorema ya se explicó en otra unidad didáctica, por lo que sólo nos quedaría por demostrar que se cumple la última proporción.

  

Demostración:

Como ya se dijo, la primera parte de este teorema ya está demostrada en una unidad didáctica anterior. Así que partimos de que se cumple la proporción  y también el recíproco.

Sólo tenemos que probar que .

Partiremos de la construcción geométrica que ilustra el enunciado de teorema y trazaremos la recta auxiliar, BD, que pasa por B y es paralela a la recta OA'.

Ahora, aplicamos el Teorema de Thales tomando como rectas secantes OB' y A'B' y como rectas paralelas, OA' y BD.

Así:     

Aplicando una propiedad de las proporciones:

Teniendo en cuenta que AA'BD es un paralelogramo y que, por tanto, sus lados opuestos son iguales: 

Y así podemos escribir la siguiente proporción:    

E intercambiando los dos términos centrales:      que es lo que queríamos demostrar.

 

Trazando una paralela a OB' que pase por A, se demuestra del mismo modo que