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4.2. El número pi

Actividad 1

     

En el siguiente applet se muestra algo parecido a lo que hizo Arquímedes (sIII a.C) para calcular una buena aproximación del número pi.

Marca la casilla "Ver polígonos inscritos":

Utiliza el deslizador del número de lados para aumentar el número de lados de los polígonos inscritos.

¿El perímetro de estos polígonos es mayor o menor que la longitud de la circunferencia?

A medida que aumenta el número de lados, ¿los perímetros se aproximan más o menos a la longitud de la circunferencia?

¿En algún momento el perímetro de un polígono inscrito llega a ser mayor que la longitud de la circunferencia?

Fíjate en los cocientes de perímetro entre diámetro. ¿A qué número se acerca este cociente a medida que aumenta el número de lados?

Marca la casilla "Ver polígonos circunscritos":

Utiliza el deslizador del número de lados para aumentar el número de lados de los polígonos circunscritos.

¿El perímetro de estos polígonos es mayor o menor que la longitud de la circunferencia?

A medida que aumenta el número de lados, ¿los perímetros se aproximan más o menos a la longitud de la circunferencia?

¿En algún momento el perímetro de un polígono cicunscrito llega a ser menor que la longitud de la circunferencia?

Fíjate en los cocientes de perímetro entre diámetro. ¿A qué número se acerca este cociente a medida que aumenta el número de lados?

Marca la casilla "Ver diferencias"

Se muestran las diferencias entre los dos perímetros y los dos cocientes. Puedes comprobar que estas diferencias van siendo menores conforme aumenta el número de lados de los polígonos.

Prueba ahora a variar el radio de la circunferencia sin variar el número de lados, ¿Varían los perímetros?¿Varían los cocientes?

Podemos concluir que pi es un número que está entre las dos aproximaciones que se han hecho a partir de los cocientes.

 

 

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Conclusiones actividad 1

   

Sobre los polígonos inscritos:

El perímetro de todos los polígonos inscritos en la circunferencia de radio r es siempre menor que la longitud de la circunferencia.

A medida que aumenta el número de lados, el perímetro se aproxima más a la longitud de la circunferencia sin llegar a superarla.

La medida de los perímetros inscritos es una aproximación de la longitud de la circunferenica por defecto (la aproximación es menor que la longitud que se aproxima) tanto mejor, cuánto mayor sea el número de lados del polígono.

Sobre los polígonos circunscritos:

El perímetro de todos los polígonos circunscritos a la circunferencia de radio r es siempre mayor que la longitud de la circunferencia.

A medida que aumenta el número de lados, el perímetro se aproxima más a la longitud de la circunferencia sin llegar nunca a ser igual o menor que esta.

La medida de los perímetros circunscritos es una aproximación de la longitud de la circunferenica por exceso (la aproximación es mayor que la longitud que se aproxima) tanto mejor, cuánto mayor sea el número de lados del polígono.

Aproximación de la longitud de la circunferencia:

A medida que vamos aumentando el número de lados, la diferencia entre los perímetros de los polígonos inscritos y circunscritos se va haciendo menor.

De lo anterior se deduce fácilmente que la longitud de la circunferencia es un número que es mayor que el perímetro de cualquier polígono inscrito en ella y menor que el perímetro de cualquier polígono circunscrito a ella y que además la podemos aproximar tanto como queramos sin más que ir aumentando el número de lados de los polígonos.

   

En el applet, haciendo n=50 y r=1 tenemos:          

Con n=50 y radio=2, tenemos:          

Con n=50 y radio=3, tenemos:          

Y así sucesivamente.

Aproximación del número pi:

Haciendo los cocientes de las aproximaciones de la circunferencia entre dos veces su radio, lo que obtendremos serán aproximaciones del número pi.

Si tomamos como aproximación de la circunferencia los perímetros de los polígonos inscritos, obtendremos aproximaciones de pi por defecto.

Si tomamos como aproximación de la circunferencia los perímetros de los polígonos circunscritos, obtendremos aproximaciones de pi por exceso.

En el applet, una vez fijado el número de lados, aunque variemos el radio, los cocientes no varían, son los mismos para todas las circunferencias.

Así,  haciendo n=50 y para cualquier valor del radio, obtenemos:

     

   

Esto no es más que una aproximación del número pi:

  

   

Arquímedes, utilizando un método parecido a este y con polígonos de 96 lados llegó a la siguiente aproximación de pi:

    

              aproximadamente:          

  

    

Un poco de historia:

      

Ya en las culturas mesopotámica y egipcia se descubrió la relación que existe entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.El cociente entre ambas magnitudes es siempre igual al mismo número, el número pi (π). 

Esta relación se utilizaba de forma práctica, pero fue Euclides (sIV-III a.C) el primero en demostrarla.

LLamar pi (π) a ese número se viene haciendo desde el siglo XVIII y viene de periphereia, denominación que los griegos daban al perímetro de un círculo. Fue el gran matemático, Leonhard Euler (sXVIII)  quien generalizó el uso de este nombre.

       

Aproximaciones del número π:

Las aproximaciones, hechas de forma experimental hace más de 4000 años en Mesopotamia y Egipto fueron:

Antiguo Egipto:      

Mesopotamia:       

En la antigua Grecia y haciéndolo de un modo teórico tenemos las siguientes aproximaciones:

La hecha por Arquímedes:      ,     aproximadamente,     

La hecha por Ptolomeo:      ,     aproximadamente,     

Ya en el Renacimiento Europeo, en el siglo XVI, tenemos una aproximación de π con dieciséis dígitos decimales exactos.

En la Época Moderna (precomputacional), del siglo XVIII a principios del siglo XX, se da alguna aproximación de π con más de cien dígitos correctos.

Desde entonces, con el uso de ordenadores se han ido calculando más y más cifras decimales del número π.

En 1966 un ordenador dio una aproximación de π de 250000 cifras y la hizo en solo 8 horas.

En el año 2000 las cifras exactas calculadas del número π eran ya dos billones y medio!!!... y seguimos...

    

Sobre la naturaleza del número π:

Fue en el siglo XVIII cuando Johann Heinrich Lambert demostró algo que los matemáticos intuian desde hacía tiempo, que π no era un número racional.

Esto quiere decir que no se puede escribir como cociente de dos números enteros.

Esto equivale a que si se escribe π en forma decimal la expresión tendrá infinitas cifras no periódicas. (No hay ningún patrón que se repita en sus cifras decimales).