Métodos de resolución de ecuacións non polinómicas

As ecuacións tratadas até agora son polinómicas, no sentido de que poden reducir-se a unha ecuación na que no primeiro membro temos un polinómio e no segundo membro temos o número 0, isto é, a forma canónica dunha ecuación polinómica.

A principal característica dos polinómios é que a indeterminada (a "x") debe aparecer en forma de poténcias de exponente natural.

Se ampliamos a gama de expresións en que pode aparecer a indeterminada, obtemos ecuacións que van mais aló das polinómicas.

Unha destas ampliacións consiste en permitir que na ecuación aparezan fracións que conteñan "x" no seu denominador.

Investigade o nome deste tipo de fracións, nas que o denominador contén unha ou várias letras.

Este tipo de ecuacións chaman-se ecuacións racionais e para a sua resolución trataremos de transformá-las en outras equivalentes a elas que non conteñan denominadores. Este proceso chama-se eliminación de denominadores e consiste en multiplicar todos os termos da ecuación polo mcm de todos os denominadores que conteña. Entramos polo tanto de novo no campo dos polinómios e a sua factorización.

O resultado do proceso é unha ecuación sen denominadores, que se pode transformar nunha polinómica, para a que xá temos métodos descritos anteriormente.

Procurade algún exemplo de resolución dunha ecuación racional e observade os pasos que se dan. Observade en particular o paso no que se eliminan os denominadores, que é o específico desta clase de ecuacións.

Subide ao blog un exemplo desenvolvido polo grupo, no que se expoña e comente cada unha das fases da resolución.

Existe ainda outro tipo de ecuacións nos que a indeterminada está afectada por raíces cuadradas. Desde logo que tamén hai ecuacións que conteñen raíces de maior índice, e por suposto que combinando diferentes expresións podemos chegar a obter ecuacións enormemente complexas, mas no noso nível imos rematar aqui.

O método principal para resolver este tipo de ecuacións consiste en eliminar a raíz ou raíces existentes, elevando ao cuadrado ambos membros da ecuación. Esta técnica presenta dous problemas importantes.

O primeiro consiste en que é necesário escoller ben o momento de aplicar o método, xá que pode resultar que se nos repliquen e incluso se nos compliquen as raíces, no canto de desapareceren.

E o segundo problema consiste en que o método pode introducir solucións inadmisíbeis polo que, mais aló da comprobación de erros, fai-se necesário facer unha comprobación de que as solucións que o método nos proporcione son realmente correctas.

Procurade algún exemplo de resolución dunha ecuación irracional observando con detalle os pasos dados e, en particular, o momento e o xeito en que se elimina a raíz. Subide-o ao blog comentando aqueles procesos que resulten de especial interese.

Os dous tipos de ecuacións descritos nesta última parte do traballo poden presentar dificuldades á hora de resolvé-las.

Ademais dos problemas derivados de posíbeis erros de cálculo, que fan recomendábel facer sempre unha comprobación final da solución ou solucións obtidas, o tipo de ecuación e os métodos empregados fan que en ocasións obteñamos solucións que, embora estean ben obtidas, non sexan admisíbeis.

Discutide co resto de grupos os problemas que poden aparecer na resolución das ecuacións racionais e irracionais e, unha vez que o teñades claro, facede unha aportación ao blog na que se exemplifique algún dos problemas que se poden presentar, e a forma de tratá-los.

Toda ecuación pode expresar-se na forma f(x)=0, onde f(x) é unha expresión que contén á incógnita: abonda con traspór ao primeiro membro da ecuación todos os seus termos.

Utilizando este procedimento, podemos visualizar as solucións de calquer ecuación, sexa alxébrica ou trascendente, representando graficamente a exprexión f(x). E para iso é de grande axuda o aplicativo GeoGebra, de instalación libre e gratuíta, e que ten unha grande poténcia para representar multitude de fenómenos de tipo matemático.

Como ponto final do traballo que acabades de desenvolver, probade a representar graficamente várias "ecuacións" e tratade de observar en que xeito a representación gráfica presenta as solucións.

Representar graficamente unha expresión do tipo f(x) en GeoGebra é realmente simples: abonda con introducir na barra "entrada", situada na banda inferior, o texto f(x)="expresión a representar". Os pontos nos que a gráfica corta ao eixo OX (eixo de abscisas) coincidirán coas solucións.

Facede várias probas con todo tipo de expresións e atoparás algunhas realmente interesantes, que podedes colgar no blog.