Funciones: derivabilidad, teorema de Rolle
Ejercicios resueltos

1

Demuestra que la ecuación  x⁷ + x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x = 1  tiene una única raíz positiva.

Illes Balears, junio 2001

2

Demuestra que, para cualquier valor de  m, la ecuación  x³ – 3x + m = 0  no tiene dos raíces diferentes que pertenezcan al intervalo [0, 1].

Illes Balears, septiembre 2001

3

Enuncia el teorema de Rolle (5 puntos).
Aplícalo, si es posible, a la función  f(x) = sen x cos x  si el intervalo es [0, π], hallando α Î (0, π)  para el cual  f ’(α) = 0  (5 puntos).

Illes Balears, septiembre 2002

4

Enuncia el teorema de Rolle  (4 puntos).
Demuestra mediante un ejemplo que la condición que la función es derivable en todo punto del intervalo abierto (a, b) no es superflua y no puede fallar la derivabilidad en ningún punto  (6 puntos).

Illes Balears, junio 2004

5

Se considera la función  f(x) = x(x – a)(x – b)(x – c), siendo  0 < a < b < c.
Demuestra que la ecuación  f '(x) = 0  tiene exactamente tres raíces reales.

Illes Balears, septiembre 2004

6

Demuestra que la ecuación  x³ + x² + x – 1 = 0  tiene una única raíz real.

Illes Balears, junio 2005

7

Enuncia el teorema de Rolle  (4 puntos).
Demuestra que la función  f(x) = x³ – x + a  cumple la hipótesis de este teorema en el intervalo  [0, 1]  cualquiera que sea el valor de a. Halla el punto en el cual se cumple la tesis  (6 puntos).

Illes Balears, septiembre 2005

8

Demuestra razonadamente que la ecuación  x² = x sen x + cos x  tiene exactamente dos raíces en el intervalo [–π, π].

Illes Balears, septiembre 2006

9

Utilizando los teoremas de Bolzano y Rolle, demuestra que las curvas  y = cos x,  y =   se cortan en un único punto.

Illes Balears, septiembre 2007